Ошибки уравнений Максвелла

Андрей Борус


декабрь '24

Image sowa
«Натянуть сову на глобус» – выражение, которым в научном мире называют теории, полученные подменой понятий и подтасовкой фактов.

Уравнения Максвелла, сформулированные в XIX веке, стали основой классической электромагнитной теории и, как считается, заложили фундамент для многих современных технологий.

Однако, при тщательной и аккуратной проверке выяснилось, что в уравнениях используются законы электростатики для динамики, подменяется понятие ЭДС на вихревое электрическое поле, что приводит к ошибочным волновым уравнениям.

Анализ этих ошибок не только поможет лучше понять природу электромагнитных явлений, но и позволит усовершенствовать теоретические модели и практические приложения, в частности, – антенны, которые сейчас используют эти уравнения.

Аннотация написана искусственным интеллектом – claude-3.5-sonnet.

«Основные тезисы и выводы статьи:

  1. Критика математического аппарата:
    • Автор указывает на некорректность применения операторов дивергенции и ротора в их классическом определении
    • Предлагается использовать нормированные векторные поля для корректного вычисления дивергенции и ротора
    • Демонстрируется, что классические операторы дают нулевые значения для заведомо расходящихся и вихревых полей
  2. Критика физических основ:
    • Указывается на неправомерность использования уравнений статики для описания динамических процессов
    • Отмечается подмена понятия ЭДС вихревым электрическим полем
    • Ставится под сомнение ограничение только поперечными волнами
  3. Ключевые выводы:
    • Существующие уравнения Максвелла содержат две принципиальные ошибки:
      а) Применение статических уравнений к динамике
      б) Подмена ЭДС вихревым электрическим полем
    • Предполагается возможность существования продольных электромагнитных волн
    • Указывается на необходимость пересмотра математического аппарата теории
  4. Сильные стороны работы:
    • Детальный математический анализ
    • Логическая последовательность аргументации
    • Наглядные иллюстрации и примеры
  5. Спорные моменты:
    • Радикальность выводов о "ошибочности" уравнений Максвелла
    • Недостаточное внимание к экспериментальным подтверждениям существующей теории
    • Отсутствие альтернативного математического аппарата

Статья поднимает интересные вопросы о математических основах электродинамики, но требует дальнейшей проработки. »

От автора: дальнейшей проработка планируется в дальнейшем.


Содержание

Коротко об уравнениях Максвелла

Считается, что уравнения Максвелла являются следствием фундаментальных законов электричества и магнетизма. Эти законы излагаются в интегральной форме, что приводит к первоначальному представлению уравнений Максвелла в виде интегралов. После осуществляется переход к дифференциальной форме, в рамках которой решаются полученные дифференциальные уравнения. В результате этих решений получают волновые функции, которые описывают процессы распространения электромагнитных волн.

Уравнения Максвелла в интегральной форме

1. Закон Гаусса для электрического поля:

$\displaystyle \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{внутри}}}{\varepsilon_0}$ (1)

(где $Q_{\text{внутри}}$ — полный заряд внутри поверхности $S$, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная).

Закон Гаусса для электрического поля утверждает, что суммарный поток вектора электрического поля ( $\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}$) через произвольную закрытую поверхность, расположенную на любом расстоянии от точечного заряда, остается постоянным. Если внутри поверхности нет зарядов, то и суммарный поток через такую поверхность равен нулю. Это можно интерпретировать как сохранение числа линий индукции электрического поля, пересекающих данную поверхность. Данное свойство является основой для формулировки закона Кулона.

2. Закон Гаусса для магнитного поля.

$\displaystyle \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0$ (2)

Суммарный поток вектора магнитного поля по замкнутой поверхности всегда равен нулю, магнитные монополи отсутствуют.

3. Закон Фарадея в формулировке Максвелла:

$\displaystyle \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}$ (3)

Закон Фарадея в формулировке Максвелла утверждает, что изменение магнитного потока создает электрическое поле. Это поле называется вихревым электрическим полем и не является потенциальным.

И в этом есть первое противоречие с оригинальным законом Фарадея:

Закон Фарадея гласит, что изменение магнитного потока через замкнутый контур приводит к возникновению электродвижущей силы (ЭДС) в этом контуре.

Изменение магнитного потока может происходить как вследствие изменения магнитного поля, так и за счет изменения площади контура или его ориентации относительно магнитного поля. Формально закон можно выразить следующим уравнением:

$\displaystyle \mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ (4)

где $\mathcal{E}$ – индукционная ЭДС, $\Phi_B$ – магнитный поток, равный $\int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}$, а $\frac{d\Phi_B}{dt}$ – скорость изменения магнитного потока. Знак минус в уравнении указывает на направление индукционной ЭДС, которое определяется правилом Ленца: «индукционный ток будет течь в таком направлении, чтобы противодействовать изменению, вызвавшему его.»

Замечание 1   Противоречие заключается в том, что ЭДС не является электрическим полем; более того, она направлена против существующего электрического поля и выполняет работу по разделению зарядов.

(см. статьи по объяснению ЭДС электромагнитной индукции)

4. Закон Ампера—Максвелла

$\displaystyle \oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{внутри}} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}$ (5)

(где $I_{\text{внутри}}$ – ток, проходящий сквозь контур $C$, $\mu_0$ – магнитная постоянная).

Закон Ампера-Максвелла описывает связь между электрическими токами и магнитными полями. Он состоит из двух компонентов:

Первая компонента утверждает, что электрические токи $I $, проходящие сквозь некий замкнутый контур $C$, создают магнитное поле. Интенсивность магнитного поля, интегрированного по этому контуру, пропорциональна величине суммы всех токов внутри этого контура. Это является аналогом закона Гаусса для магнитного поля проводника с током. Если через контур не проходят токи то и суммарное магнитное поле, интегрированное по этому контуру, равно нулю.

Вторая компонента, представляемая выражением $\varepsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} $, вводит концепцию «тока смещения», предложенную Максвеллом. Он основывал это предположение на том, что при переменном токе, протекающем через конденсатор, между его обкладками может возникать магнитное поле, аналогичное полю, создаваемому проводником с током.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Далее при помощи теорем Гаусса–Остроградского и теоремы Стокса интегральные уравнения заменяются на дифференциальные:

1. Закон Гаусса для электрического поля:

$\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ (6)

(где $\rho$ — объемная плотность заряда).

2. Закон Гаусса для магнитного поля:

$\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ (7)

(магнитные заряды отсутствуют).

3. Закон Фарадея в интерпретации Максвелла:

$\displaystyle \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ (8)

4. Закон Ампера—Максвелла:

$\displaystyle \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ (9)

(где $\mathbf{J}$ — плотность тока).

$\nabla \cdot \mathbf{E}$ и $\nabla \cdot \mathbf{B}$ ещё обозначаются $\mathbf{div \, E}$ и $\mathbf{div \, B}$ и называются дивергенцией вектора, что означает «расхождение».

$\nabla \times \mathbf{E}$ и $\nabla \times \mathbf{B}$ ещё обозначаются $\mathbf{rot \, E}$ и $\mathbf{rot \, B}$ и называются ротором вектора, что означает «вращение» или правильнее «закручивание», «завихрение».

Как вычислять ротор и дивергенцию

Существующие определения ротора и дивергенции включают в себя не только «расхождение» и «закручивание» но и изменение величины в пространстве.

Следствием этого является, например, нулевая дивергенция в законе Гаусса вне зарядов, хотя линии электрической индукции расходятся в пространстве, и нулевой ротор для вихревого магнитного поля вне самого тока.

Для более корректного вычисления дивергенции и ротора необходимо предварительно нормировать вектора исходного поля.

Как следует из закона Гаусса для электростатики (1) и закона Ампера для магнитостатики (3), интегралы по области и контурам которые не имеют зарядов и токов, равны нулю. Предел этих интегралов в точке есть нуль и это, по существующим определениям, есть дивергенция и ротор, которые затем применяются в уравнениях Максвелла в дифференциальной форме.

По существующему определению дивергенция – это сумма частных производных:

$\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}$ (10)

где, $\nabla$ - оператор ”набла“.

Ротор определяется как векторное произведение $\nabla$ на вектор:

$\displaystyle \nabla \times \mathbf{B} = \{ ( \frac{\partial B_y} {\partial z} ... ...x}) , ( \frac{\partial B_y} {\partial x} - \frac{\partial B_x} {\partial y}) \}$ (11)

В двумерном случае рассмотрения векторного поля в одной координатной плоскости, например $XY$, у ротора останется только третья компонента: $\frac{\partial B_y} {\partial x} - \frac{\partial B_x} {\partial y}$.

Давайте проверим, что получается в случае применения этих дифференциальных операторов к электрическому полю статического одиночного заряда и магнитному полю одиночного прямолинейного бесконечного проводника с током. А так как действует принцип суперпозиции, то можем обобщить наши заключения и на произвольную систему зарядов и токов.

Проверка дивергенции

Сначала проверим дивергенцию поля одиночного заряда, помещённого в начало координат.

Для наглядности сначала проведём вычисления дивергенции в двумерном плоском случае. При сохранении потока векторного поля функция модуля вектора от расстояния от центра примет вид:

$\displaystyle \frac{1}{r} ,\,$где$\displaystyle \quad r=\sqrt{x^2+y^2}$ (12)

Векторное поле по компонентам будет:

$\displaystyle \mathbf{E}(x, y) = \{ E_x, E_y \} = \{ \frac{1}{r} \cdot cos\, \alpha , \frac{1}{r} \cdot sin\, \alpha \} = \{ \frac{x}{r^2}, \frac{y}{r^2} \},$ (13)

так как

$\displaystyle cos\, \alpha = \frac{x}{r}, sin\, \alpha = \frac{y}{r}$ (14)

получаем:

$\displaystyle \mathbf{E}(x, y) = \{ \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2} \}$ (15)

Вид этого поля изображён на рисунке 1:

Рис. 1: Расходящееся поле $1/r$
\includegraphics{vectdiv.pdf}

Возьмём частные производные:

Частная производная первой компоненты $E_x(x, y) = \frac{x}{x^2 + y^2}$ по $x$:

$\displaystyle \frac{\partial E_x}{\partial x} = \frac{(x^2 + y^2) \cdot 1 - x \cdot (2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$ (16)

Частная производная второй компоненты $E_y(x, y) = \frac{y}{x^2 + y^2}$ по $y$:

$\displaystyle \frac{\partial E_y}{\partial y} = \frac{(x^2 + y^2) \cdot 1 - y \cdot (2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}$ (17)

Вычислим дивергенцию:

Дивергенция векторного поля в двумерном пространстве определяется как:

$\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y}$ (18)

Теперь подставим вычисленные частные производные в формулу для дивергенции:

$\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} = 0$ (19)

Таким образом, действительно:

Вывод 1   Для расходящегося двумерного поля вида ${1/r}$ изображённого на рисунке 1 вычисленная по определению дивергенция равна нулю.

Для полноты представления давайте проверим дивергенцию в трёхмерном пространстве. Векторное поле, которое сохраняет поток, будет иметь вид:

$\displaystyle \frac{1}{r^2} ,\,$где$\displaystyle \quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ (20)

Такой вид имеет поле одиночного заряда по закону Кулона:

$\displaystyle F=k\cdot\frac{q_1\cdot q_2}{r^2}, \quad E=k\cdot\frac{q_1}{r^2}$ (21)

И для поля такого вида (т.е. с точностью до некой константы), компоненты будут иметь вид:

$\displaystyle \mathbf{E}(x, y) = \{ \frac{x}{r^3}, \frac{y}{r^3}, \frac{z}{r^3} \}$ (22)

Для примера вычислим частную производную одной из компонент:

$\displaystyle \frac{\partial E_x}{\partial x}=\frac{-2 x^2+y^2+z^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{5/2}}$ (23)

Складывая, согласно определению дивергенции, частные производные, получаем:

\begin{multline} \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \f... ...y^2+z^2)^{5/2}} + \frac{x^2+y^2 -2 z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}} = 0 \end{multline}

Обобщая с предыдущим заключением 1:

Вывод 2   вычисленная через сумму частных производных дивергенция полей с постоянным потоком вектора равна нулю, что никак не характеризует «расхождение» поля.

Проверка ротора

Рис. 2: Вихревое магнитное поле у проводника с током
Image bur

Теперь давайте посмотрим на ротор.

Вокруг проводника с током существует вихревое магнитное поле (рисунок 2), которое и должно, по-идее, иметь ротор, то есть «завихрение». Магнитное поле бесконечного прямого проводника с током имеет вид:

$\displaystyle B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ (25)

где:

$B$ – магнитная индукция (магнитное поле)

$\mu_0$ – магнитная проницаемость вакуума ( $\mu_0\approx 4\pi\times10^{-7}$   Тл$\cdot$   м$/$   А)

$I $ – сила тока в проводнике (в амперах),

$r$ – расстояние от проводника до точки, в которой измеряется магнитное поле (в метрах).

Магнитное поле направлено по окружностям, которые концентрически расположены вокруг проводника, и ослабевает с увеличением расстояния от проводника.

Поэтому достаточно будет вычислить ротор для двумерного случая, в трёхмерном варианте вектор ротора направляется по перпендикуляру к плоскости вращения.

Проведём проводник с током через начало координат и направим его вдоль оси $Z$. В плоскости $XY$ поле будет убывать обратно пропорционально расстоянию, аналогично формуле (12) для двумерной дивергенции, но при этом сам вектор поля будет повёрнут в плоскости $XY$ на $90^\circ$. Поэтому компоненты примут вид:

$\displaystyle \mathbf{B}(x, y) = \{ \frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2} \}$ (26)

Вид этого поля изображён на рисунке 3:

Рис. 3: Вихревое поле $1/r$
\includegraphics{vectrot.pdf}

Ротор векторного поля в двумерном пространстве вычисляют как скалярное значение, определяемое формулой:

$\displaystyle \nabla \times \mathbf{B} = \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y}$ (27)

В трёхмерном случае ротор – это будет вектор, перпендикулярный плоскости $XY$, со значением по оси $Z$ равному значению вычисленного скаляра.

Вычислим нужные частные производные:

$\displaystyle \frac{\partial B_y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\fr... ...2 + y^2) \cdot 1 - x \cdot 2x}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$ (28)
$\displaystyle \frac{\partial B_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-\f... ... + y^2) \cdot 1 - y \cdot 2y}{(x^2 + y^2)^2} = -\frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}$ (29)

Теперь подставим эти результаты в формулу для ротора:

$\displaystyle \nabla \times \mathbf{B} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} - ( - \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}) = 0$ (30)

Таким образом,

Вывод 3   ротор векторного поля $\mathbf{B}$ равен 0, и оператор $\nabla \times \mathbf{B}$ не в состоянии обнаружить «завихрение» для поля, в котором заведомо такое «завихрение» имеется.

Обобщая с дивергенцией (Вывод 2):

Вывод 4   Не логично и ошибочно называть вычисленные по-определениям через частные производные величины ротором и дивергенцией, если они дают для вихревого и расходящегося поля нули и не в состоянии выявить расхождение и вращение. Дифференциальные операторы $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$ и $\nabla \times \mathbf{B}=0$ свидетельствует лишь о неизменности потока вектора, отсутствии зарядов и токов в рассматриваемой точке. Причём эта точка может находиться непосредственно рядом с источником – зарядом или током.

Вычисление дивергенции и ротора нормированных полей

Но давайте попробуем нормируем наши векторные поля, то есть поделим на модуль вектора.

Проверим дивергенцию нормированного поля для двумерного случая:

Компоненты вектора нормированного поля вида $1/r$ (12) будут:

$\displaystyle \mathbf{E_n}(x, y) = \frac{\mathbf{E}(x, y)}{\vert\mathbf{E}\vert} = \{ \frac{x}{\sqrt{(x^2+y^2)}}, \frac{y}{\sqrt{(x^2+y^2)}} \}$ (31)

Вычислим частные производные:

$\displaystyle \frac{\partial E_{nx}}{\partial x} = \frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}, \quad \frac{\partial E_{ny}}{\partial y} = \frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}$ (32)

получаем:

$\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{E_n}=\frac{1}{\sqrt{(x^2+y^2)}}=\frac{1}{r}$ (33)

Таким образом приходим к заключению:

Вывод 5   У нормированного поля путём применения оператора $\nabla$, через сумму частных производных, можно получить дивергенцию. Она существует, и имеет физический смысл «расхождения». С увеличением расстояния от центра она убывает, показывая что расхождение убывает, и на бесконечности линии поля можно считать почти параллельными.

Теперь проверим дивергенцию для трёхмерного случая:

Компоненты вектора нормированного поля вида $1/r^2$ (20) будут:

\begin{multline} \mathbf{E_n}(x, y, z) = \frac{\mathbf{E}(x, y, z)}{\vert\mathb... ...frac{y}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}} , \frac{z}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}} \} \end{multline}

Вычислим частные производные:

$\displaystyle \frac{\partial E_{nx}}{\partial x}=\frac{y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$ (35)
$\displaystyle \frac{\partial E_{ny}}{\partial y}=\frac{x^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$ (36)
$\displaystyle \frac{\partial E_{nz}}{\partial z}=\frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$ (37)

получаем:

$\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{E_n}=\frac{2}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}}=\frac{2}{r}$ (38)

Вывод 6   Дивергенция для нормированного поля одиночного заряда в трёхмерном пространстве так же убывает с ростом расстояния от источника поля. И действительно показывает «расхождение».

Осталось проверить ротор поля вида $1/r$ (26)

Компоненты его нормированной версии будут:

$\displaystyle \mathbf{B_n}(x, y) = \{ -\frac{y}{\sqrt{(x^2+y^2)}}, \frac{x}{\sqrt{(x^2+y^2)}} \}$ (39)

Вычислим частные производные:

$\displaystyle \frac{\partial B_{ny}}{\partial x} = \frac{y^2}{(x^2 + y^2)^{3/2}} \\ \frac{\partial B_{nx}}{\partial y} = -\frac{x^2}{(x^2 + y^2)^{3/2}}$    

и применим оператор $\nabla \times $ по формуле (27):

$\displaystyle \nabla \times \mathbf{B_n} = \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{(x^2+y^2)}}=\frac{1}{r}$ (40)

И получили, что:

Вывод 7   Ротор нормированного векторного поля, вычисленный применением оператора $\nabla$, существует и имеет физический смысл «закручивания». Чем дальше от центра «закручивания», тем больше радиус круга, тем меньше «закручивание».

Обобщая выводы 5, 6 и 7 получаем:

Вывод 8   Что для нормированных векторных полей применение оператора $\nabla$ скалярно показывает расхождение, то есть дивергенцию векторного поля, а применение оператора $\nabla$ векторно – показывает вращение, «завихрение», то есть ротор. И чем дальше вектор от центра расхождения или вращения, то есть от источника, тем тем меньше будет дивергенция и ротор в точке положения этого вектора.

Поэтому правильнее определить дивергенцию и ротор как:

div$\displaystyle \, \mathbf{E} = \nabla \cdot (\frac{\mathbf{E}}{\vert\mathbf{E}\vert})$ (41)

rot$\displaystyle \, \mathbf{B} = \nabla \times (\frac{\mathbf{B}}{\vert\mathbf{B}\vert})$ (42)

То есть для правильного вычисления дивергенции и ротора, такого, чтобы они имели физический смысл, необходимо нормировать вектора исходного поля. Такие выражения действительно имеют физический смысл дивергенции и ротора.

Данная ситуация с дивергенцией и ротором предполагает теперь, что надо тщательнее проверять все выражения с этими операторами.

Некоторые выводы для уравнений Максвелла

В дифференциальных уравнениях Максвелла статические заряды не создают дивергенцию электрического поля, а постоянные токи не создают ротор магнитного поля в окружающем пространстве. Там ноль. Вычисленные через $\nabla$ дивергенция и ротор характеризуют не «расхождение» и «завихрение» поля, а изменение потока вектора поля.

На дивергенцию и ротор, вычисленные «по-определению» (10, 11) может влиять не только «расхождение» и «закручивание» в конкретной точке, но и изменение самой величины, что не даёт таким определениям того физического смысла, который им приписывают. Они являются лишь промежуточными величинами дифференциальных уравнений, которые для решения требуют введения дополнительных условий.

Уравнение электромагнитной волны

Вывод волновых уравнений

Волновые уравнения в электродинамике выводятся из уравнений Максвелла:

Давайте проанализируем общепринятый вывод волновых уравнений:

Рассматриваются уравнения Максвелла в вакууме без зарядов и токов:

1. Уравнение Гаусса для электрического поля (6) принимает вид:

$\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{E} = 0$ (43)

2. Уравнение Гаусса для магнитного поля (7):

$\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ (44)

3. Уравнение Фарадея в интерпретации Максвелла (8):

$\displaystyle \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ (45)

4. Уравнение Ампера-Максвелла (9) принимает вид:

$\displaystyle \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ (46)

Здесь $\mathbf{E}$ – электрическое поле, $\mathbf{B}$ – магнитное поле, $\epsilon_0$ – электрическая постоянная, $\mu_0$ — магнитная постоянная.

Вывод волновых уравнений начинают с уравнения Фарадея. Берётся ротор от обеих частей уравнения Фарадея (45):

$\displaystyle \nabla \times ( \nabla \times \mathbf{E} ) = -\nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ (47)

Согласно имеющимся равенствам векторного анализа – теореме ротора ротора, можно записать:

$\displaystyle \nabla \times ( \nabla \times \mathbf{E} ) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}$ (48)

Поскольку рассматривается система без зарядов $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$ (43) (Отметьте этот момент), то получаем уравнение:

$\displaystyle -\nabla^2 \mathbf{E} = -\nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})$ (49)

Теперь, пользуясь уравнением Ампера-Максвелла (46), заменяется $\nabla \times \mathbf{B}$ на ${\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}$, и получается волновое уравнение для электрического поля $\mathbf{E}$ (заодно домножив на -1):

$\displaystyle \nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$ (50)

Аналогично можно вывести волновое уравнение для магнитного поля $\mathbf{B}$, используя уравнение Фарадея-Максвелла и уравнение Ампера-Максвелла:

$\displaystyle \nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}$ (51)

Решения волновых уравнений имеют вид плоской волны. Решение для электрического поля:

$\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}$ (52)

где $\mathbf{E}_0$ – амплитуда волны, $\mathbf{k}$ – волновой вектор, который характеризует свойства волны и определяет направление её распространения. $\mathbf{k}$ имеет величину, обратную длине волны, и указывает направление, в котором волна распространяется. $\omega$ – угловая частота. Связь между $\omega$ и $\mathbf{k}$ задается соотношением:

$\displaystyle \omega = c \vert\mathbf{k}\vert ,$   где$\displaystyle \quad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} \;$   – скорость света в вакууме. (53)

Аналогично, для магнитного поля можно записать:

$\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{B}_0 e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)}$ (54)

Для плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси $x$ уравнения принимают вид:

$\displaystyle E_y=E_{0}$   cos$\displaystyle (\omega t - kx)$ (55)
$\displaystyle B_z=B_{0}$   cos$\displaystyle (\omega t - kx)$ (56)

Графически это представлено на рисунке 4

Рис. 4: Плоские электромагнитные волны
Image wave

Использование уравнений статики для динамики

При выводе волнового уравнения использовались уравнения $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$ (43) и $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ (44), при переходе $\nabla \times ( \nabla \times \mathbf{E} ) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}$ (48).

Это уравнения неизменности потока вектора поля вне статических зарядов. Эти уравнения получаются из предположения, что поле одиночных зарядов мгновенно распространяется до бесконечности. Однако так ли это? Вероятно, что нет. Поэтому использование этих простых с виду уравнений в уравнениях для динамического процесса навряд ли возможно.

Теперь давайте попробуем подставить уравнения плоской волны (55, 56) в уравнения статики $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$ (43) и $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ (44). Так как в уравнениях от аргумента $x$ присутствуют только компоненты $E_y$ и $B_z$, результат равен нулю. Такому условию удовлетворяют только поперечные волны, вектор которых направлен поперёк распространения.

А если не ограничивать решение статикой $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$ (43) и $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ (44), то следует предположить, что:

Вывод 9   в электричестве и магнетизме могут существовать и продольные волны, или волны с продольной компонентой.

Ничто не мешает считать поток вектора поля во времени и пространстве изменяющимся. Ведь воду тоже считают несжимаемой, но тем не менее, звуковые волны в ней распространяются, а значит есть и небольшое изменение плотности и давления. Поэтому можно предположить, что и электрические и магнитные поля могут испытывать некие возмущения в различных направлениях, благодаря которым и существуют электрические и магнитные волны. И вовсе не обязательно это должны быть поперечные электромагнитные волны.

Даже более того, если проследить, откуда появляется в волновом уравнении $\nabla^2 \mathbf{E}$, то видно, что это та же самая $\mathbf{E}$ вихревого электрического поля (см. замечание 1), которая выведена из ЭДС индукции, $\mathbf{E}$ и $\mathcal{E}$ (ЭДС) – это разные величины, разные физически. Следовательно уравнения Максвелла невозможно замкнуть, вывести из них волновое уравнение. Записав непотеницальное вихревое электрическое поле заместо $\mathcal{E}$ в итоге и получили волны из такого же непотенциального поля в волне. Т.е. этой волне невозможно сопоставить потенциал или плотность заряда, и вообще она действует поперёк направления распространения, и если бы потенциал был, то он каким-то образом тоже должен бы быть иметь градиент в поперечном направлении.

Выводы – ошибки уравнений Максвелла

Таким образом в уравнениях Максвелла как физической теории две принципиальные ошибки:

1. Использование уравнений статических полей для динамики. Эта ошибка формирует неправильное решение, ограничивая поля в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

2. Подмена понятия ЭДС непотенциальным вихревым электрическим полем. Эта ошибка не позволяет замкнуть систему уравнений и сформировать решение в том виде в котором они сейчас есть.

Замечания:

1. Физический смысл дифференциальных операторов ротор и дивергенция не соответствует их названию. Они характеризуют «завихрение» и «расхождение» только для нормированных полей. Если поле не нормировано, то на результат применения этих дифференциальных операторов оказывает влияние изменение величины векторов поля.

2. Обнуление «дивергенции» и «ротора» вне зарядов и токов лишает возможности непосредственного включения влияния зарядов и токов на поля. Возникает необходимость интегрального решения системы с краевыми условиями и использования решений статики как краевого условия динамики. Это формирует сложный подход к решению задач электродинамики с рассмотрением ближней и дальней зоны.

3. Рассмотрение статических зарядов и токов можно было вообще исключить из рассмотрения в решении задачи электродинамики.

4. Подмена ЭДС индукции вихревым непотенциальным электрическим полем закрывает суть закона электромагнитной индукции, которая говорит о законе сохранения энергии в магнитном поле.

5. Исходя из предыдущего замечания существование вихревого непотенциального электрического поля видится весьма сомнительным.

6. Если существуют «виртуальные» «токи смещения» в вакууме, то можно предположить и существование «виртуальных» зарядов, и надобность в вихревом непотенциальном электрическом поле отпадает.

Замечания к теории относительности

Ошибочное использование уравнений статики $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$ в динамике и использование непотенциального электрического поля приводит к отсутствию среды распространения электромагнитных взаимодействий и делает распространение электромагнитных волн «теоретическим», то есть не связанным с реальностью, явлением с такой же «теоретической» скоростью распространения, равной скорости света $c$ (53). То есть отсутствие среды распространения электромагнитных взаимодействий и постулат о постоянстве скорости света были заложены в ещё уравнениях Максвелла и озвучены в теории относительности.

Эксперимент

Первоначально эксперимент не был направлен на проверку уравнений Максвелла, а был затеян из простого любопытства – как «отпочковываются» радиоволны от антенны? Но получился весьма интересный эффект.

Была собрана катушка Теслы (рисунок 5), которой для большей эффективности рассеяния электрического поля был прикреплён сверху проводящий шар. Диаметр шара 57 мм. Напряжение, генерируемое катушкой, составляет около киловольта (точно не измерялось). Частота работы $\approx 2.38$ МГц. В качестве датчика поля использовался такой же шар, подключённый к щупу осциллографа. Общий провод осциллографа заземлён, входное сопротивление 10 МОм.

Рис. 5: Генератор электрического поля – катушка Теслы и датчик поля
Image tesla

Датчик поля помещался на различное расстояние от генератора (рисунок 6):

Рис. 6: Ход эксперимента
Image experim

На осциллографе наблюдался уровень сигнала (рисунок 7).

Рис. 7: Сигнал на расстоянии 25 см (вид инвертирован)
Image crt_print25i

В ходе эксперимента наблюдалась следующая зависимость уровня (потенциала) поля $U$ от расстояния $r$ до генератора (см. таблица 1):


Таблица 1: Зависимость потенциала поля от расстояния
r (см) 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100
U (В) 170 102 62 39 27 15.3 9.3 6.1 4.4 3 2.05 1.85


Наблюдаемые значения имеют зависимость от расстояния вида $1/r^2$ (оранжевый), хотя для потенциала типичная зависимость от расстояния считается $1/r$ (синий) (см. рисунок 8).

Рис. 8: График зависимости потенциала поля от расстояния
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{gr1x2.pdf}

Считается, что зависимость вида $1/r^2$ присуща для потенциала в дальней зоне, то есть при расстояниях $r \gg \lambda\,, \quad \lambda$    – длина волны, так как энергия волн рассеивается по сфере обратно пропорционально площади сферы. А в ближней зоне, то есть при $r \ll \lambda$ должна наблюдаться квазистатическая зависимость вида $1/r$. Длина волны $\lambda$ при частоте 2.38 МГц составляет 126 метров, что гораздо больше чем расстояние наблюдений. Кстати, при гораздо более низкой частоте 10 кГц наблюдается зависимость вида $1/r$.

Вывод 10   Вероятно, часть энергии переходит в другую, непотенциальную форму.

И если потенциал убывает $1/r^2$, то электрическая индукция должна убывать $1/r^3$, и таким образом, в окружающем генератор пространстве должно выполняться $\nabla \cdot \mathbf{E} \neq 0$.

Электрическое поле должно иметь «стоки» или «источники» линий электрической индукции $\mathbf{E}$.

Это можно объяснить тем, что электромагнитная среда под действием переменного потенциала высокой частоты то «притекает», то «отбегает» от источника, то есть колеблется вдоль направления распространения волны. Эти колебания вызывают аналог «токов смещения» – ток электромагнитной среды, и таким образом энергия электрического поля переходит в энергию токов, то есть энергию магнитного поля. Причём, в отличие от волн Максвелла (рисунок 4), где электрическое и магнитное поле синфазны, электрические и магнитные поля должны быть смещены относительно друг друга на $90^\circ$. Электрический потенциал переходит в энергию магнитного поля и обратно.

В общем, осталось написать формулы для Новой Электродинамики и провести более точные эксперименты.